Астрономия

Интерполяцияи сплинии кубӣ дар каҷнамои нури ситораҳои импулсорӣ

Интерполяцияи сплинии кубӣ дар каҷнамои нури ситораҳои импулсорӣ


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Чаро барои таҳлили каҷнамои ситораҳои импулсорӣ интерполясияи мукааб сплайн истифода мешавад? Оё ягон истифодаи илмии чунин корбурдҳо вуҷуд дорад? Як мисоли истифодаи интерполяцияи мукааб сплайн ин ҷо, боби 4 аст.


Ман барои парвандаи умумӣ сухан гуфта наметавонам; Ман намедонам, ки сплайнҳои кубӣ ҳамеша барои моделсозии қубурҳои рӯшноӣ истифода мешаванд. Бо вуҷуди ин, як сплаки кубӣ ин пасттарин дараҷаи сплайн аст, ки имкон медиҳад нуқтаҳои гардишро фароҳам оранд ва ба ин васила омезиши хуби чандириро бо соддагӣ пешниҳод кунанд. Сплини мукааб метавонад ба каҷии ҳамвори худсарона бо ҳамагӣ чанд нуқтаи назоратӣ рост ояд. Он инчунин дар бисёр таҳлилҳо ва бастаҳои расмкашӣ пешниҳод карда мешавад.

Дар коғаз, муаллифон як каҷ сабук аз ҷониби чашми. Сплайнҳои кубӣ як усули "возеҳи" ин кор мебошанд.


Чизи асосие, ки сутунмӯҳраи мукааб ба шумо имкон медиҳад, доштани ҳосилаи доимии дуюм аст. Агар ба шумо танҳо як каҷнамои пайваста лозим бошад, пайваст кардани нуқтаҳо бо хатҳои рост кифоя аст, бе сарозерӣ, балки ҳосилаи хеле қатъшуда. Пас, агар шумо хоҳед, ки дар бораи ҳосилаи каҷи рӯшноӣ фикр кунед, шумо бояд ҳадди аққал ба як сплеси квадратӣ равед, ки ин ҳосилаи якуми доимиро имкон медиҳад, аммо потенсиали аз меъёр баландро нишон доданро фароҳам меорад (каҷе, ки берун аз доираи нуқтаҳо меравад) худашон). Агар шумо воқеан мехоҳед дар бораи ҳосилаи дуюм низ фикр кунед, пас ба шумо лозим меояд, ки пайваста бошед, то ки як сплии куб талаб карда шавад. Аммо вақте ки шумо ҳосилаҳои бардавомро илова мекунед, эҳтимолияти сарнагунии он бадтар мешавад. Шахсан, ман splines мукаабро хеле боэътимод мешуморам, аз ҳад гузаштан метавонад даҳшатнок бошад, агар шумо каҷаки хеле хуб ҳалшуда бо садои зиёд надошта бошед, аммо ин метавонад ҳамон чизе бошад, ки онҳо доранд.


Интерполятсияҳои мукааб сплайн истифода мешаванд, зеро агар шумо лӯлаи хуб дошта бошед, шумо бояд танҳо 2 тағирёбандаро танзим кунед, то ки хеле хуб мувофиқат кунед. Албатта, як сплин кубӣ дорои маҳдудиятҳои зиёд аст ва як тонна нуқтаҳои гардишро пешниҳод мекунад, ки ба ҳадди аққали ҳадди аққал имкон намедиҳанд. Гуфта мешавад, ки он зуд, ифлос, осон ва ба қадри кофӣ ба таври васеъ қабул карда шудааст. Ғайр аз он, он ба монанди ситораи ларзишӣ ё тағирёбанда ба ларза медарояд, аз ин рӯ, ин боз як баҳонаи хубест барои рафтан ба масири мукааб сплайн.

Ҳастанд, олимон ва ҳуҷҷатҳои бешуморе ҳастанд, ки ҳамаи натиҷаҳои худро дар асоси он чӣ сплайн куб ба онҳо медиҳад, дар майдонҳо аз фотометрия, вақте ки шумо пайваст кардед, то ҳарорате, ки аз профилҳои азхудкунии Ly $ alpha $ гирифта шудааст, ки дар ин ҷо дида мешавад.

Ин истинод ба истинод дар бораи интерполясияи сплайн, ки ман дар рисолаи донишҷӯии худ истифода кардаам. Шояд ин ба шумо муфид бошад.


Таҳлили маълумотҳои микроскопии локализатсияи ягонаи молекула бо истифодаи сплайнҳои кубӣ

Ҳалли микроскопи фавқулодда дар асоси локализатсияи як молекула, қисман бо дақиқии алгоритми локализатсия муайян карда мешавад. Дар аксари равишҳои нашршуда то имрӯз ин маҳалсозӣ бо гузоштани функсияи таҳлилӣ, ки ба функсияи паҳншавии нуқтаи (PSF) микроскоп наздик мешавад, амалӣ карда мешавад. Аммо, алахусус барои маҳаллисозӣ дар 3D, функсияҳои таҳлилӣ, аз қабили Gaussian, ки аз ҷиҳати ҳисобӣ арзон мебошанд, метавонанд шакли PSF-ро ба таври дақиқ ба даст наоранд, ки боиси кам шудани дақиқии ҷойгиршавӣ мегардад. Аз тарафи дигар, функсияҳои таҳлилӣ, ки шакли PSF-ро дақиқ ба даст оварда метавонанд, ба монанди функсияҳое, ки ба функсияҳои хонанда асос ёфтаанд, метавонанд аз ҷиҳати ҳисобӣ гарон бошанд. Дар ин ҷо мо истифодаи splines кубиро ҳамчун усули мувофиқи алтернативӣ таҳқиқ мекунем. Мо нишон медиҳем, ки сплайнҳои кубӣ метавонанд шакли ҳар як PSF-ро бо дақиқии баланд ба даст оранд ва онҳо метавонанд барои васл кардани PSF бо истифода аз танҳо 2-3 маротиба зиёд шудани вақти ҳисоб дар муқоиса бо монтажи Гаусс истифода шаванд. Мо бастаи нармафзори кушодаасосро пешниҳод менамоем, ки PSF-и ҳама гуна микроскопро чен мекунад ва PSF-и ченкардашударо барои таҳлили микроскопии локализатсияи 3D-и молекулаҳои ягона бо дақиқӣ ва суръат истифода мебарад.


1 Муқаддима

Гидрографҳои сатҳи зеризаминӣ барои дарки тамоюлҳо ва мавсимӣ дар динамикаи обӣ, арзёбии таъсири ронандагон, аз қабили насос, баҳодиҳии ҷараёнҳо ва калибрченкунии моделҳои ададии зеризаминӣ муҳиманд. Аммо, аксар вақт чунин истифода бо мониторинги нокофӣ ё номунтазами сатҳи обҳои зеризаминӣ халалдор мешавад. Барои тасаввур кардани номунтазамии мониторинг, дар расми 1 қитъаҳои басомади солонаи мониторинг дар тӯли 45 сол дар ҳар як чуқури назорат дар Викторияи Австралия оварда шудааст. Маълум аст, ки басомади назорат аксар вақт моҳона ва ё камтар ба назар мерасад ва дар Виктория дар ин давра басомад коҳиш ёфтааст. Ин коғаз як усули омории силсилаи вақтро барои интерполяция кардани шикофҳои номунтазам ва кам назоратшаванда ба қадамҳои вақти мунтазам пешниҳод менамояд. Равиш ба таври муназзам бо истифода аз шаш гидрографи чуқурӣ бо давомнокии тӯлони мушоҳидаҳои ҳаррӯза баҳогузорӣ карда мешавад. Равиш танҳо маҷбуркунии ҳаррӯзаи метеорологии таърихӣ ва гидрографи обҳои зеризаминиро талаб мекунад ва мушаххас кардани гидрогеологияи майдонро талаб намекунад. Он ба HydroSight қуттиҳои асбобҳо http://peterson-tim-j.github.io/HydroSight/, қуттии абзори дастрас барои моделсозии силсилаи вақти обҳои зеризаминӣ (Peterson & Western, 2014), ки инчунин таҷзияи гидрографҳои обҳои зеризаминиро ба саҳми ронандагон имкон медиҳад (Shapoori et al.) ., 2015a, 2015b) ва баҳодиҳии дорои маълумот дар бораи хосиятҳои гидравликии обӣ (Шапурӣ ва диг., 2015c).

Ба интерполяцияи гидрографии обҳои зеризаминӣ аҳамияти кам дода шудааст. Фаҳмиши латифаи мо аз он иборат аст, ки гидрографҳои обҳои зеризаминӣ бо мушоҳидаҳои номунтазам ё ками обҳои зеризаминӣ тавассути (а) интерполясияи хаттии байни мушоҳидаҳо то санаи манфиатдор истифода мешаванд (б) қабули мушоҳидаҳои наздиктарин ба санаи таваҷҷӯҳ ё (в) ба ҳисоби миёна гирифтани ҳамаи мушоҳидаҳо аз болои баъзе давраҳо, одатан як сол. Ин амалияҳо метавонанд ба ҳисоби миёна ба динамикаи басомади баланд ва таъсироти дигар ба хусусиятҳои силсилаи вақт оварда расонанд ва ҳангоми дар саросари минтақа татбиқ шуданашон, эҳтимолияти гетерогенияи фазоро ба таври сунъӣ афзоиш диҳанд. Ба дониши мо, ягона равиши нисбатан мураккаб аз ҷониби Берендрехт ва Ван Гир (2016) мебошад, ки усули сершумори интиқоли хатти функсияи сайтро (TFN) пешниҳод мекунанд, ки як гидрографро симулятсия мекунад. Онҳо аввал модели TFN-ро барои ҳар як сӯрохиҳои мушоҳидаи инфиродӣ дар ҳамсоягӣ сохта, сипас бо истифода аз бақияи модели TFN аз моделҳои ҳамсояи TFN сметаҳоро дар гидрографи манфиатдор ислоҳ карданд. Равиши онҳо истифодаи гуногун дорад, ки яке аз онҳо интерполяцияи гидрографӣ буд. Интерполяцияи дар натиҷа овардашуда на ҳамеша нуқтаҳои мушоҳидаҳоро риоя мекард ва дар баъзе ҳолатҳо дар давраи интерполясия ба тарафдории ошкоро оварда мерасонд. Равиш ба яке аз сӯрохиҳои ҳамсоя такя мекунад, ки дар басомади баланд мутаносибан бо қадами вақти интерполятсия мушоҳида карда мешаванд. Барои Нидерландия, ки дар он ҷо барнома таҳия шудааст, ин талабот мушкилот надорад, аммо бисёр минтақаҳои ҷаҳон дар ин мавқеи ҳасад нестанд. Ғайр аз он, ҳатто агар аксари вақтҳо дар бисёр минтақаҳои ҷаҳон сабткунандагони маълумот насб карда шаванд ҳам, мушкилот барои давраҳои таърихӣ боқӣ мемонанд.

Ба ин монанд, усулҳои муосири интерполятсия барои дигар мушкилоти гидрологӣ аз сайтҳои гуногун истифода кардаанд (Mwale et al., 2012). Чунин мушкилот пур кардани рутубати хок (Dumedah & Coulibaly, 2011), пур кардани боришот (Bárdossy & Pegram, 2014) ва пур кардани ҷараёнро (Harvey et al., 2012) дар бар мегирад ва ҳар як робитаи оморӣ дар байни макони омӯзишӣ ва донор сайтҳо. Дар ҳамаи ин замимаҳо, интихоби ҷойҳои донор як машқи муҳим ва ғайримуҳим аст (Ҳарви ва диг., 2012) ва сарфи назар аз таҳияи равишҳои нимавтоматикунонидашудаи интихоби донор ва санҷиши донорҳо, аксари усулҳои интихоби донорҳо таҷриба талаб мекунанд, танзими хуб ва дониши сайтҳо (Giustarini et al., 2016). Ғайр аз ин, Мвале ва дигарон. (2012) масъала ба миён гузошт, ки сайтҳои донор наметавонанд бо ченкунаки ҷараёни ҳадаф норасоиҳои монанд дошта бошанд ва ҳангоми пайдарҳамии тӯлони маълумоти гумшуда, бояд моделсозии гидрологӣ ба назар гирифта шавад, ки мо онро моделсозии консептуалии боришот ва обхезиро дар назар дорем, аммо намедонанд ҳама гуна чунин барномаҳо.

Дар заминаи интерполяцияи обҳои зеризаминӣ эҳтимол ин мушкилот зиёд карда шавад. Махсусан, якхела набудани обҳои зеризаминӣ ва таъсири шароити марзӣ эҳтимолияти интихоби ҷойҳои донорро душвортар мекунад ва ҳатто вақте ки шабакаи мушоҳидаи маҳаллӣ мавҷуд аст, бояд маҳалҳои донор интихоб карда шаванд, то ба онҳо таъсири маҷбурии шабеҳ ба сайти омӯзишӣ. Ғайр аз он, ҳатто агар ҷойҳои мувофиқи донорҳоро муайян кардан мумкин бошад ҳам, кам будани мушоҳидаҳои обҳои зеризаминӣ имконнопазир аст, ки дар ҳар як нуқтаи вақти интерполясия мушоҳидаҳои ҳаррӯзаи сайтҳои донорӣ дошта бошанд ва мушоҳидаҳои кофии тасодуфӣ бо макони омӯзишӣ ва дигар маконҳои донорӣ барои сохтани талабот дошта бошанд муносибатҳои оморӣ.

Дар ин мақола аввал усули интерполяцияи обҳои зеризаминӣ ва сипас равиши баҳодиҳии он дар шаш ҷои мушоҳида оварда шудааст. Сипас усулҳо барои таҳлили ҳассосияти усули кригинг, санҷиши равишҳои алтернативӣ ба кригинг ва арзёбии ду барнома, аз ҷумла тахмин кардани эҳтимолияти баландшавии сатҳи ҳадди об ва баҳодиҳии доираи солонаи сатҳи обҳои зеризаминӣ муфассал оварда шудаанд. Пас аз он, фасли натиҷаҳо натиҷаҳои моделсозии TFN ва арзёбиҳои дар боло зикршударо муфассал баён мекунад, пас аз он фоида аз насб кардани қайдгари маълумот барои беҳтар кардани интерполясия арзёбӣ карда мешавад. Ниҳоят, фасли мубоҳиса ва хулосаҳо бозёфтҳо ва шароити эҳтимолияти боэътимоди муносибати интерполясияро аз нигоҳи интиқодӣ баррасӣ мекунад.


Поляризатсия аз сабаби таҳрифи гардиш дар ситораи дурахшони Регулус

Аввалин поляризатсияро дар ситорагон Чандрасехар 1 пешгӯӣ карда буд, ки поляризатсияи хаттӣ дар узви ситораро барои фазои тозаи электронҳои пароканда ҳисоб карда буд. Ҳангоми муттаҳидсозӣ дар болои ситораи курашакл ин поляризатсия ба ҳисоби миёна ба сифр баробар хоҳад буд, аммо агар он симметрияро шиканад, масалан, ҳангоми гирифтани офиси ҳамсоя. Тақрибан 50 сол пеш, Харрингтон ва Коллинз 2 роҳи дигари шикастани симметрия ва тавлиди поляризатсияи холис - таҳрифи ситораи зуд чархзанандаро намуна карданд. Дар ин ҷо мо дар бораи ошкор шудани ин таъсир гузориш медиҳем. Мушоҳидаҳои поляризатсияи хаттии Regulus бо ду поляриметрҳои гуногуни дақиқи баланд аз +42 ppm дар дарозии мавҷҳо 741 нм то –22 ppm дар 395 нм. Бозгаштан аз сурх ба кабуд хусусияти фарқкунандаи поляризатсияи гардиш мебошад. Бо истифода аз маҷмӯи нави моделҳо барои поляризатсияи ситораҳои зуд чархзананда, мо мефаҳмем, ки Регулус бо суръати (96. <5> _ <- 0.8> ^ <+0.6> \% ) суръати кунҷи интиқолии худ барои шикастан- боло ва майл аз 76.5 ° калонтар аст. Тири меҳварии ситора дар кунҷи мавқеъ 79,5 ± 0,7 ° аст. Хулосаҳо аз натиҷаҳои мушоҳидаҳои интерферометрии қаблан нашршудаи Regulus 3 мустақиланд, аммо бо мувофиқаи хуб бо онҳо. Андозаи дақиқи гардиш дар ситораҳои типи барвақт барои фаҳмидани муҳитҳои ситоравии онҳо 4 ва ҷараёни эволютсияи онҳо 5 муҳим аст.

Кӯшишҳои аввалия барои ошкор кардани таъсири поляризатсияи Чандрасекхар бенатиҷа анҷом ёфтанд ва ба ҷои он кашфи поляризатсияи байниситоравӣ 6,7 оварда расонданд. Поляризатсияи пешгӯишаванда дар дуюми гирифтани моҳ танҳо як маротиба, дар Algol 8 мушоҳида шудааст. Моделҳои аввалини ин эффектҳо фазои тозаи электронҳои 1,6 -ро истифода мебурданд. Вақте ки ба ситораҳои даврзанандаи 9,10 воқеияти воқеии ғайримутамаркази ситоравии атмосфера татбиқ карда шуд, поляризатсияи пешбинишаванда дар дарозии намоён хеле хурдтар ёфт шуд. Дар ҳақиқат, поляризатсияҳои пешгӯишавандаи паст истифода мешуданд, ки механизми мазкур поляризатсияҳои калони дар ситораҳои Be мушоҳидашудаи 11-ро шарҳ дода наметавонад, ки ҳоло онҳо ба дискҳои парокандагии сунъӣ 12,13 мансубанд.


3. Миёнаҳо ва Миёнаҳо

Усулҳои маъмултарин барои регрессияи ғайримаметри дар астрономия ин тағирёбии миёнаҳои миёна ва миёнаравӣ мебошанд, ки ҳарду воситаҳои ҳамворкунӣ мебошанд. Як тағирёбанда ҳамчун тағирёбандаи мустақил интихоб карда мешавад (бидуни аз даст додани умумият, X). Сипас ашёҳо дар X ҷойгир карда мешаванд, ки дар ҳар як бин миёна ё миёна Y ҳисоб карда мешавад. Пайваст кардани онҳое, ки бо сегментҳои хаттӣ пешгӯии P X барои функсияҳои асосиро ба вуҷуд меоранд. Варианти маъмулӣ ба ҳисоби миёна ё миёнарав иҷро мешавад, ки дар онҳо қуттиҳои гуногун дар атрофи ҳар як нуқта ҳисоб карда мешаванд. Азбаски медианҳо нисбат ба аҷибҳои шадид камтар ҳассосанд, онҳо бештар дар адабиёти астрономӣ интихоб карда мешаванд.

Вақте ки мо дар қисми боқимондаи ин қисмат тавсиф мекунем, миёнаҳои миёна ва медианҳо хатогиҳои ҷиддӣ доранд, ҳатто агар ҳамвор кардани реҷаҳо, аз ин рӯ бояд пешгирӣ карда шавад. Миёнаҳо ва медианҳо давидан интихоби беҳтаре мебошанд, вақте ки масъала барои алгоритми ҳамворсозӣ мувофиқ аст, аммо аксар вақт нодуруст ба масъалаҳое истифода мешаванд, ки бояд ба ҷои онҳо моделсозӣ карда шаванд (§ 3.3). Барои функсияи ба қадри кофӣ содда ва маълумоти хуб чен кардашуда, ҳатто реҷаи интерполясияи амиқи хато сазовор иҷро хоҳад кард. Ғайр аз ин, дар ҳамвор кардани замимаҳо хатогиҳо аз интерполясияи суст одатан нисбат ба номуайянии дар натиҷаи хатогиҳои андозагирӣ ё намунаҳои хурд буда хурдтаранд. Дар натиҷа, аксари асарҳои нашршуда ба ҳамгироӣ ва давидан барои ҳамворкунӣ такя карда, эҳтимол хулосаҳои дуруст баровардаанд.

Бо вуҷуди ин, ҳадди аққал, усулҳои нодурусти оморӣ дар маҷмӯъ боиси аз будаш зиёд нишон додани ҳаҷми маълумоте мешаванд, ки барои баровардани хулоса заруранд ва аз ин рӯ метавонад ба тақсимоти нодурусти вақти телескоп оварда расонад. Ҳатто ташвишовартар он аст, ки мушкилоти астрономӣ низ мавҷуданд, ки дар он миёнаравҳо хулосаи комилан нодурустро пешниҳод мекунанд, ки дар он парчамҳои огоҳии априорӣ мавҷуд нестанд. Масалан, медианҳои давида дарвоқеъ бо назардошти маҷмӯи квазарҳои қаблан нишон додашуда тавлид хоҳанд кард (Расми 1), аммо ин пешгӯӣ назари иштибоҳангези муносибати аслиро медиҳад, зеро он техникаи 1-E-ро ба масъалаи 2-E татбиқ кардааст.

Ҳатто барои мушкилоте, ки воқеан як хато аст, миқдори миёна ва миёнарав метавонад натиҷаҳои нодуруст ба бор орад. Онҳо на ҳамчун алгоритмҳои мувофиқ, балки ҳамчун алгоритмҳои ҳамворсозӣ таҳия шудаанд. Ҳамин тариқ, мувофиқ кардани функсияҳои якбора тағирёбанда ба миёнаравҳо тағироти тадриҷии бештар ба амал меорад. Агар ин нодуруст истифода шавад, масалан, метавонад боиси майл ба мадори экзопланетаи транзитӣ аз қубури рӯшноии худ ба таври мунтазам баландтар шавад (3)

Тасвири 3. - Регрессияҳои миёна (сурх) ва даврии миёнавӣ (норинҷӣ) барои 100 нуқта (сиёҳ), ки одатан дар X аз намунаи каҷнамои экзопланетӣ (кабуд) интихоб шудаанд. Ҳар як равзанаи давида панҷ хол дорад. Ин усулҳо дар ҷое, ки тақсимот қубурӣ аст, муғризона мебошанд, ва гирифтани Офтоб мунтазам тадриҷан ба назар мерасад, зеро онҳо ҳамчун алгоритмҳои ҳамворсозӣ тарҳрезӣ шудаанд. Бе ислоҳ, ин боиси аз ҳад зиёд баҳо додани майлҳои мадор бо роҳи аз ҳад зиёд кардани давомнокии коҳиш ва кам кардани давомнокии ҳадди ақали ҷараён мегардад.

Мутаассифона, оё тақсимот патологӣ аст ё ҳангоми тарзи усули ҳамворкунӣ аз хусусиятҳои функсияи аслӣ вобаста аст, на аз хосиятҳои маҷмӯа. Дар натиҷа, ҳангоми санҷиш муайян кардан душвор аст, ки оё истифодаи медианҳо тақсимотро нодуруст тавсиф кардаанд ё не. Ин боиси нигаронии махсус аст, зеро ҳадафи бисёр алгоритмҳо тобовар будан ҳатто дар сенарияи бадтарин аст (ниг. Pease et al., 1980), ҳадди аққал дар робита бо муносибатҳои аслӣ. Мо баъзе аз сабабҳои асосии он, ки медианҳо ва усулҳои марбути он дар поён хато доранд, ба таври расмӣ тавсиф мекунем.

3.1. Биннинг хатарнок аст

Қадами аввал дар тавлиди воситаҳо ё медианҳо, маълумотдиҳӣ, пешниҳоди табиатан хатарнок аст. Ин ду сабаб дорад. Аввалан, партофтан 'хомӯшона ба амал намеояд' ва аз ин рӯ, метавонад ба осонӣ кӯр-кӯрона татбиқ карда шавад ва аксар вақт натиҷаҳои бад доранд. Дуюм, мушкилоти аслӣ бо бининг ҳамчун усули регрессия вуҷуд доранд. Дар ин ҷо мо нигаронии аввалро ҳал мекунем. Мо дуввумро дар нуқтаҳои гуногун, баъдтар дар ин боб баррасӣ мекунем.

Ҳамин тавр, маълумотҳои баннерӣ дуруст талаб мекунанд, ки се чиз дуруст бошад:

Нуқтаҳои дар як қуттӣ ҷойгиршуда воқеан ҳамон миқдорро нишон медиҳанд.

Нуқтаҳои дар қуттиҳои гуногун ҷойгиршуда воқеан миқдори гуногунро нишон медиҳанд.

Ҳангоми интихоби қуттиҳо тағирёбандаҳои пинҳонӣ нодуруст ҳисоб карда нашудаанд.

Дуюми ин маҳдудияти заифтарин мебошад, зеро риоя накардани он танҳо ба натиҷаҳои нисбат ба имконоти камтар аз нуқтаҳои додашуда оварда мерасонад ва ба ин васила натиҷаи ғайриимкон аст. Ду нафари дигар метавонанд хатарноктар бошанд ва дар ҳолатҳои фавқулодда ба натиҷаҳои ваҳшиёнаи гумроҳкунанда оварда расонанд.

Ҳамчун намунаи мушкилоте, ки маҳдудияти аввал иҷро намешавад, маҷмӯаи дорои 64000 нуқтаро, ки аз якчанд давраи функсияи синусоидӣ бо садо тавлид шудааст, дида бароед (Расми 4). Ҳангоми ба қуттиҳои 5% як давра гузоштан, ба ҳисоби миёна барои функсияи аслӣ баҳои оқилона медиҳад. Аммо, вақте ки ба қуттиҳои васеътари давраҳои 1.1 паҳн карда мешавад, рафтори синусоидӣ гум мешавад ва функсия хатӣ ба назар мерасад. Ғайр аз он, вобаста аз ҷуброни дақиқи ин қуттиҳои васеъ, функсия метавонад ба таври якранг меафзояд ё якранг кам мешавад. Ин натиҷаи интихоби нодурусти андозаи қуттӣ аст, то нуқтаҳое, ки бинобар функсияи аслӣ бояд гуногун ҳисобида шаванд, иштибоҳан дар як қутти ҷойгир карда шаванд. Мутаассифона, интихоби андозаи бехавф аксар вақт донишро дар бораи функсияҳои аслӣ талаб мекунад, ки бинингро ҳамчун як техникаи бади ғайримуқаррарӣ хатарнок мекунад.

Тасвири 4. - Як намунаи маҷмӯае нишон дода шудааст, ки бо роҳи илова кардани садои тақсимшудаи амплитудаи 4 ба воҳиди амплитудаи синусоид, тавлид шудааст. Панели боло маълумотро дар якҷоягӣ бо се мундариҷаи ғайримарказӣ ва синусоиди асосӣ нишон медиҳад, дар поёни он танҳо мувофиқат ва синусоидро дар намуди масофа нишон медиҳанд. Сарфи назар аз он, ки синусоид дар абри нуқта ба таври возеҳ намоён аст, ду ҳолати миёнаравӣ (бо истифода аз паҳнои қуттиҳои бин аз давра ҷуброншуда) вобаста ба ҷойгоҳи канори қуттиҳои аввал тамоюлҳои ба ҳам муқобил (сабз ва норинҷӣ) медиҳанд. Баръакс, воситаҳои беннед бо паҳнии хурдтар ҳосили хуби тамоюли аслиро ба бор меоранд.

Вақте ки маҳдудияти ниҳоии партофтан, канорагирӣ аз тағирёбандаҳои пинҳонӣ, натиҷаро ба даст намеорад, ин як проблемаи умумие мебошад, ки метавонад на танҳо ба усулҳои бинншуда, балки дар маҷмӯъ нисбат ба регрессияҳо, вақте ки на ҳама тағирёбандаҳо ҳисоб карда мешаванд, татбиқ карда шаванд. Маълумотҳои тақсимшуда аксар вақт метавонанд аз сабаби мавҷуд будани тағирёбандаҳои пинҳонӣ (Симпсон, 1951) тамоюлҳои гуногунро нишон диҳанд, ки ин таъсир аксар вақт Парадокси Симпсон ё эффект Юл-Симпсон номида мешавад. Ҳамчун намунаи сохташуда барои нишон додани ин таъсир, тадқиқотро тасаввур кунед, ки нобудшавии шумораи аҳолии ситораро дар ҳам галактикаҳои ситорашаванда ва ҳам ғайрифаъол бо массиаи собит ва дар ду тағирёбии гуногуни сурх чен карда, андозагириҳои дар ҷадвали 1 додашударо чен кунед. Аксари галактикаҳо дар ин масса ситорагиро ҳангоми сурхрезии баланд, вале паси сурх гузаштан пассив ташкил медиҳанд, аз ин рӯ, намуна асосан дар баланд - z ситора ташкил мекунад, аммо дар пасти - z аксаран ором.

з Н Намуди Авг. E (B-V) (mag.)
3 900 SF 0.20
3 100 Ѓайри 0.10
0.2 100 SF 0.60
0.2 900 Ѓайри 0.30
Ҳама 1000 SF 0.24
Ҳама 1000 Ѓайри 0.28
Ҷадвали 1 Маълумоти тахайюлӣ дар бораи синну соли аҳолии ситора дар галактикаҳои ситорашакл ва ғайрифаъол, ки барои тасвири Парадокси Симпсон сохта шудаанд.

Дар ҳарду сурхравии собит, ин тадқиқот ба хулосае меорад, ки галактикаҳои ситорашакл нисбат ба галактикаи ором камтаранд. Аммо, на танҳо аз рӯи фаъолият гурӯҳбандӣ шудааст, на аз тариқи сурх, ба ҷои он галактикаи миёнаи ғайрифаъол дар ин пурсиш аз нобудшавӣ нисбат ба галактикаи миёнаи ситорасоз зиёдтар аст. Дар ин ҳолат, тағирёбандаи пинҳоншуда сурх аст: таҳлиле, ки тамоюли қавӣ ба самти баландтарро (E-B-V) бо сурхфастии пастро рад мекунад, метавонад хулосаи бад барорад.

Парадокси Симпсон бо басомадҳо маҳдуд намешавад, балки инчунин метавонад дар чен кардани таносуб ҳузур дошта бошад. Намунаи мушкилоте, ки ин таъсир дар астрономия муҳим буд, омӯзиши таъсири мавқеъ дар кластери галактика ба фаъолияти AGN мебошад. Тадқиқотҳои гуногун ба хулосае омаданд, ки басомади баландтари AGN нисбати марказҳои кластерҳо (Ruderman & amp Ebeling, 2005), басомади баландтар ба канораҳои кластер (Gilmour et al., 2007) ё басомади доимӣ (Miller et al., 2003 Соррентино ва дигарон, 2006). Барои ин тадқиқотҳо, эффектҳои интихобӣ таҳияи намунаи назоратиро, ки таъсири радиусро аз маркази кластер ҷудо мекунад ва дар муқобили бисёр тағирёбандаҳои муҳими дигар дар ҳошия аст, хеле душвор мекунад (Martini et al., 2007 Khabiboulline et al., 2014).

Парадокси Симпсон то андозае ғалат аст, зеро парадокси воқеӣ вуҷуд надорад. Фарзияҳои нодуруст дар бораи набудани тағирёбандаҳои пинҳон ва маълумоти нопурра ба хулосаҳои ба назар мухолиф оварда мерасонанд. Аммо, дарки дурусти ҳамаи тағирёбандаҳои муҳими ба натиҷаи устувор оварда мерасонад. Дар мисоли бофтаи мо, воқеан воқеият он аст, ки галактикаи миёнаи мушоҳидаи пассив нисбат ба галактикаи миёнаи мушоҳидашавандаи ситора ташаккулёфтааш баландтар аст. Аммо, ин эҳтимолан ин саволе нест, ки аксари астрономҳо ба он таваҷҷӯҳ доранд.

Принсипи муҳим дар таҳияи синтаксиси барномасозӣ ва шартномаҳои рамзгузорӣ он аст, ки рамзи нодуруст бояд нодуруст ба назар расад. Ба ин монанд, идеалӣ низ он аст, ки таҳлили нодурусти оморӣ бояд ба қадри имкон иллатнок ба назар расад ва усулҳо бо ин хосият интихоби амалии бештар мебошанд. Ҷанбаи хатарноктарини партофтан дар он аст, ки он новобаста аз он ки тағирёбандаҳои муҳими пинҳонӣ мавҷуданд, ҷавоб медиҳанд. Дар аксари ҳолатҳо, муайян кардани априори душвор аст, ки оё меъёрҳои гуногуни бинкунӣ ва интихоб натиҷаи дигар ба даст меоранд.

Ҳатто дар ҳолатҳое, ки тағирёбандаҳои пинҳонии пинҳонӣ надоранд, номуайянии ченкунӣ боиси он мегардад, ки баъзе маълумотҳо дар қуттии 'нодуруст' ҷойгир карда мешаванд. Ҳатто барои баъзе ҳолатҳои содда, ба монанди истифодаи медианҳои давида дар намунаи дутарафа барои тахмин кардани муносибати хаттии аслӣ, бининг метавонад ғаразҳоро ба вуҷуд орад, агар интихоби намуна дар тағирёбандаи сабтшуда яксон набошад. Тахминҳои мушаххасе, ки дар миёнаҳои миёна ё медианҳо сохта шудаанд, ин аст, ки функсияи аслӣ хаттӣ ва доимо дар доираи домени ба ҳар як бин дохилшаванда чен карда мешавад, аммо ин дар марзи қуттӣ рост буданро қатъ мекунад. Бе дониши пешакӣ оид ба функсияҳои аслӣ, ин тахмин қариб хато хоҳад буд ва агар дониши қаблӣ вуҷуд дошта бошад, усулҳои параметрӣ қобилияти баландтарро ба бор меоранд.

Хулоса, усулҳои марбут ба партобкунӣ хатарноканд, аксар вақт хато доранд ва бояд барои синфи нодири мушкилоте, ки хеле хуб фаҳмида шудаанд, нигоҳ дошта шаванд, ки ҳар як тағирёбандаи муҳим дуруст ҳисоб карда мешавад. Барои аксари мушкилоти астрономия, бининг бояд ҳамчун як қисми таҳлили дурусти консервативии маълумот пешгирӣ карда шавад.

3.2. Хато

Яке аз сабабҳои асосии истифодаи миёнаҳо ва медианҳо дар он аст, ки онҳо ҳатто барои намунаҳои бениҳоят самаранок ҳисоб карда мешаванд. Аммо, барои аксари барномаҳои амалӣ, ҳатто қуттиҳои коркардашуда пешгӯии ғаразнокро ба бор меоранд. Яъне, ба ҳисоби миёна дар тӯли шумораи зиёди озмоишҳо, байни пешгӯишаванда ва функсияҳои асосие, ки дар зер нишон дода шудааст, ҷуброн ба таври муназзам хоҳад буд. Варианти маъмултарини ин усулҳо барои соддагии минбаъдаи татбиқ қуттии паҳнои собитро дар тағирёбандаи вобаста истифода мебаранд. Дар ин ҳолат, ҳатто дар лаҳзае, ки шумораи андозагирӣ бе ҳудуд зиёд мешавад, пешгӯии миёнаи миёна ба функсияи аслӣ наздик намешавад.

3.2.1 Миёна

Аз ҳар ду техник ғаразноктар миёна мебошад. Барои функсияи аслии хаттӣ, воқеан дуруст аст, ки y (x) -ро бо ҳисоби миёнаи y бо аҳамиятҳои наздики x ҳисоб кардан мумкин аст. Аммо, барои y (x) ғайрихаттӣ, ин тахмин вайрон мешавад. Агар фарз кунем, ки y (x) фарқшаванда аст, миқдори миёнаи кор ба арзиши дуруст наздик мешавад, зеро паҳнои қуттиҳо ба 0 мегузаранд. Аммо барои паҳнои ниҳоӣ, ҳатто миёнаҳои иҷрошаванда ба функсияи ғайрихаттӣ тахмин меоранд ва дар маҷмӯъ ғараз зиёд мешавад андозаи бин калонтар мешавад.

Барои тасаввур андозагирии ҷуфтҳои (х, у) -ро, ки дар болои y = x 2 дар болои домени x & gt 0 хобидаанд, дида бароем. Мо мехоҳем бо истифода аз паҳнои қуттии 2 Δ x пешгӯии Y (X) созем ва онро барои пешгӯии Y (x 0) истифода барем, ки дар он x 0 & gt Δ x -ро баррасӣ кунем. Бигзор нуқтаҳои x i дар х дар дохили бин [x 0 - Δ x, x 0 + Δ x] дар х якхела интихоб карда шаванд. Пас, пешгӯии Y (X) ба ҳисоби миёна y (x 0) нисбат ба он тақсимот хоҳад буд ва аз ин рӯ, дар интизорӣ,

Ҳамин тариқ, ғаразнокӣ, B ≡ E [P X (X) - Y (X)] = Δ x 2/3, нул нест ва дар андозаи доимии қуттиҳо ҳамчун шумораи ченакҳои мукаммали N → ∞ собит мемонад. Бо хурд шудани андозаи қуттиҳои N → sizes мумкин аст, ки ин пешгирӣ карда шавад, аммо хатогиро ҳеҷ гоҳ бо ин роҳ пурра бартараф кардан мумкин нест, ки дар натиҷа зарур аст, ки дар муқоиса бо усулҳои бетараф маълумоти бештар ҷамъ оварем, то ҳамон дақиқро ба даст орем.

3.2.2 Медианҳо

Дар назари аввал, медианҳо нисбат ба миёна мустаҳкамтар ба назар мерасанд. Масалан, пешгӯии y = x 2-ро, ки дар боло тавсиф шудааст, дида бароед. Азбаски y (x) якранг аст, фармоиш додани нуқтаҳои дохили қуттӣ дар як x низ як фармоишро ба амал меорад, то онро дар y иҷро кунад. Ҳамин тариқ, интихоби миёнаравии y дар ин қуттӣ x 2 барои медиан x дар қуттӣ интихоб карда мешавад. Барои ҳама гуна функсияҳои якранги комилан ченкардашуда, медианҳо ҳамеша нуқтаҳои интихобшударо интихоб мекунанд ва аз ин рӯ, ба фарқ аз миёна ҳамеша нуқтаҳои дар функсияи аслӣ ҷойгиршударо интихоб мекунанд. Бо вуҷуди ин, барои андозаи интихобкардаи ниҳоӣ, мо нишон медиҳем, ки ҳатто медианҳои давида бо баҳонаҳои шабеҳ ба ҳисоби миёна баҳодиҳандаи ғаразнок меоранд.

Интихоби x якхела аз болои [x 0 - Δ x, x 0 + Δ x], зичии эҳтимолият ин аст

Ҳамин тариқ, барои x, ки аз тақсимоти якхела дар қутти интихоб шудааст, пас, пас аз интизор, арзиши медиании x маркази бин 0 барои ҳар як андозаи интихоб хоҳад буд.

Функсияи зичии эҳтимолият барои y, он гоҳ хоҳад буд

Арзиши миёнаро дар ин тақсимот қонеъ мекунад

Ҳамин тариқ, бо зиёд шудани андозаи намуна N, шумораи қуттиҳои андозаи собит меафзояд ва аз ин рӯ, паҳнои қуттӣ коҳиш меёбад. Дар ин маҳдуд, пас медианҳои давида ба ҷавоби дуруст наздик мешаванд,

Аммо барои N ниҳоӣ, P X як тахмингари ғаразнок хоҳад буд. Барои озмоиши мушаххас t, медиан x t дар дохили қуттӣ комилан x 0 нахоҳад буд, балки аз тақсимоти симметрӣ дар бораи x 0 гирифта мешавад. Пешгӯии P X, t = y (x t) = x 2 t. E [x t] = x 0, бо симметрия. Ба ҳисоби миёна аз рӯи тақсимоти симметрии x t E [x 2 t] & gt x 2 0 истеҳсол карда мешавад, зеро он ба ҳисоби миёна дар боло оварда шудааст. Барои N = 1, медианҳои давида бо миёнаи нишондиҳандаҳо комилан шабеҳанд. Ҳангоми зиёд шудани N ва тақсимоти x t дар атрофи x 0 тангтар мешавад, ғараз кам мешавад. Дар ҳудуди ҳамчун N → ∞, тақсимоти қимати миёна дар қуттӣ вазифаи дельтаи Kronecker δ (x 0) мешавад ва ба ин васила lim N → ∞ P X = x 2 0. Табобати пурра барои N маҳдуд ҳисобшаванда аст, аммо аз доираи ин ҳуҷҷат берун аст, гарчанде ки дар § 6 якчанд арзишҳои мушаххас оварда шудаанд.

Миёнаравони давида назар ба нишондиҳандаҳои миёна натиҷаи беҳтар хоҳанд овард, алахусус барои N калон. Аммо, ҳарду барои функсияҳои ғайрихаттӣ ғаразнок мебошанд.

3.3. Хатои Интерполяция: Ҳамворкунӣ ба моделсозӣ

Ғайр аз ғаразе, ки дар ду боби қаблӣ баррасӣ шуда буд, инчунин хатогиҳои интерполятсия бо арзёбии функсияҳо дар байни натиҷаҳои ҳифзшуда мавҷуданд. Барои фаҳмидани он, ки чӣ гуна ин бо ғарази ба садо муқоиса мекунад, фарз кунем, ки мо ченакҳои нокомил дорем ва нуқтаҳоро байни нуқтаҳои ҳамсоя пайваст мекунем. Он гоҳ хатои миёнаи квадратӣ дар каҷ байни нуқтаи x 0 ва нуқтаи x 1 бо тақсимоти ғаразноки садо x (x)

E = 1 x 1 - x 0 ∫ x 1 x 0 ∞ ∞ ∞ ∞ - ∞ [f (x) - x - x 0 x 1 - x 0 (f (x 0) + η (x ′)) (13)
- x 1 - x x 1 - x 0 (f (x 1) + η (x ′ ′))] 2 d x ′ d x ′ ′ d x
1 4 Δ x 4 f ′ ′ (x) 2 + 2 3 E [η 2]. (14)

Дар хотир доред, ки ғараз дар ҳамон равзана нол хоҳад буд ва бо қубурии функсия дода мешавад, зеро садо ба ҳисоби миёна ба сифр баробар мешавад.

Ҳоло, агар қиматҳои нуқтаи моро як сметаи пуркардашуда бо N нуқтаҳо муайян мекарданд, қисми ғавғои ихтилоф аз рӯи миқёси омил ба андозаи √ N меафтод, гарчанде ки он метавонад то ҳол дар натиҷаи паҳнои ниҳоии бин ба ҳисоб гирифта нашавад. Ин маънои онро дорад, ки се манбаи хатогӣ дар тахмингарони мо инҳоянд:

Хато ва ихтилофи Интерполясия

Агар мо аз истифодаи усулҳои муҳофизаткардашуда канорагирӣ кунем ё ба андозаи кофии N, ки тарафдории бин хурд аст, истифода барем, ду манбаи боқимондаи хато муайян мекунанд, ки мушкилот ҳамворкунӣ ё моделсозӣ аст. Аз ҷумла, агар интерполяция тартиби k ва бошад

пас мушкилот мушкилоти моделсозӣ аст, зеро хатои интерполятсия хурд аст, аммо барқароркунии функсия бо ягон роҳи пурмазмун аз садо душвор хоҳад буд, агар иттилооти ғайримаҳаллӣ ва афзалиятҳои пурмазмуни тақсимоти садо истифода нашаванд. Дар лимити муқобил хатои интерполясия бартарӣ дорад ва бидуни афзалиятҳои қавӣ дар фазои функсия хеле кам дақиқ муайян карда мешавад. Ин режими ҳамворкунӣ мебошад. Дар хотир доред, ки мо аз тарафи рост дар эквивалент коэффисиенти 1 / √ N-ро сарфи назар кардем. (15). Ин қасдан аст, зеро N ё аз миқдори додаҳо ё аз қабати паҳнои функсия гирифта мешавад ва дар ҳарду ҳолат, вақте ки N муайян карда шуд, масъала бешубҳа мушкилоти ҳамворкунӣ мебошад.

Вобастагии экв. (15) on k ишора мекунад, ки танҳо бо тағир додани тартиби усули интерполясияи истифодашуда байни режими моделсозӣ ва ҳамворкунӣ гузариш имконпазир аст. Ин як варианти муфид аст, аммо ҳангоми истифодаи он эҳтиёткор будан лозим аст. Афзоиши к хатои интерполяцияро коҳиш медиҳад ва мушкилотро ба таври моделсозӣ қавитар мекунад, аммо бо арзиши ҷорӣ намудани параметрҳои иловагии озод, ки аҳамияти оморӣ ва эҳтимолияти аз ҳад зиёд мувофиқат карданро коҳиш медиҳанд. Паст кардани k хатогии интерполяцияро зиёд мекунад ва мушкилотро бештар ба як ҳамворкунӣ монанд мекунад, аммо бо харҷи эҳтимолан аз даст додани имконият барои аз маълумотҳо фоиданоктар баровардан. Ҳамин тариқ, интихоби k бояд воқеан аз ҷониби саволҳои аҳамияти оморӣ асоснок карда шавад, на аз кӯшиши тағир додани синфи масъала.

3.4. Интихоби алгоритми ҳамворкунӣ

Гарчанде ки боқимондаи ин кор ба мушкилоти моделсозӣ нигаронида шудааст, мо фарқи байни ду усули оддии ҳамворкуниро мухтасар муҳокима мекунем. Медианҳо дар адабиёти астрономӣ хеле маъмуланд, аммо ба ҳисоби миёна барои баъзе мушкилоти ҳамворсозӣ низ мувофиқ аст. Расман, медианҳо ва воситаҳои функсияи доимӣ мутаносибан мувофиқи функсияҳои талафоти L1 (χ) ва L2 (χ 2) ҳисобкунакҳои оптималӣ мебошанд. Барои дидани ин, намунаи андозаи N-и тағирёбандаи тасодуфии x-ро дида мебароем.

Меъёри L1 хатогӣ дар тахминкунанда β аст

Тафовут нисбат ба β медиҳад

Ин вақте сифр аст, вақте ки нисфи намунаҳо дар болои lie ва нисфи онҳо дар поён ҷойгиранд. Дар ҳолате, ки шумораи тоқи намунаҳо мавҷуд аст, реша вақте пайдо мешавад, ки β дар нуқтаи медианӣ ҷойгир аст. Ҳамин тариқ, медианаи интихоб меъёрҳои кам кардани меъёри L1-ро қонеъ мекунад.

Меъёри L2 -и хато дар β аст

Тафовут нисбат ба β ва ифротгароӣ медиҳад

Thus, the proper choice of smoothing algorithm depends upon the nature of the errors on individual measurements. If the errors are dominated by Gaussian noise, then minimizing χ 2 is correct, so averaging will be the best choice. This is even the case if only the relative errors are known, as minimizing k χ 2 produces the same answer as minimizing χ 2 for constant k ≠ 0 . For example, there may be an underlying function that connects two quantities on average, a Gaussian measurement error in one of them, and an additional physical scatter in the relationship. Both scatter measurements off the average underlying relationship, producing an error function that is the convolution of the two. If that convolution is approximately Gaussian, then averaging will be the best choice.

Medians are preferred when the error distribution has larger tails than a Gaussian distribution, as then an L1 norm is less sensitive to extreme outliers that an L2 norm will model as features. For example, if a sample includes a handful of mis-categorized objects that lie on a much different relation, medians will be more effective at approximating the original function. More generally, the L1 norm prefers ’compact’ descriptions of data, which results in an estimate which is more likely to disregard points as noise (Tibshirani, 1994) .

3.5. Prospects

Although for many distributions running averages and medians will yield an acceptable result, they are formally biased. Perhaps more importantly, they are non-trivially biased in many practical cases, even for high-quality data. This bias is introduced both when choosing bins and when taking means or medians with a bin. Further, it is often difficult to determine with certainty that a distribution is non-pathological. That is, wrong results do not always look wrong. Although lack of symmetry when fitting both possibilities of dependent and independent variables can indicate that running medians have yielded a poor result, not all symmetric fits are correct. The only proper measures of bias and variance are bias and variance.

By those metrics, running averages and medians perform reasonably as smoothing algorithms, in that they quickly produce a low variance for small datasets. However, they are very poor modeling algorithms, both theoretically in the sense that they are biased and in comparison with other algorithms on large datasets. Indeed, the alternative methods discussed in § 4 all produce reasonable agreement and a much better description of the underlying trend for the exoplanet transit light curve (Fig. 5 ) fit with running averages and medians earlier. The dataset is not inherently pathological, but rather running medians produce a poor result when compared with the more advanced modeling techniques discussed in the following section.

A similar result can be produced even when considering a linear underlying relation. Even though running averages and medians will now be unbiased, they are still higher-variance estimators than the alternatives (§ 7 ) for even intermediate-size datasets. The proper conclusion is that when the underlying function is not well-understood, as is typical when a nonparametric regression is the analytical tool of choice, conservative analysis is best done using tools that are not dependent on binning and which are known to suffer from fewer of these pitfalls.

Figure 5.— Regression on 200 points (black) selected randomly from a uniform distribution in X from a model exoplanet light curve fit using four techniques: running averages (blue), medians (gold), Boosted Trees (red), and MARS (green), the same test shown for running averages and medians in Fig. 3 . The latter two algorithms are described in § 4 , and they perform far better in approximating the underlying function, particularly in determining the depth of the eclipse and steepness of its walls, which are used to determine ratio of the planetary radius to the stellar radius and the inclination respectively.

Results

Observations with the X-ray multi-mirror satellite

The X-ray data for ξ 1 CMa discussed in this paper were taken with the X-Ray Multi-Mirror Mission XMM-Newton of the European Space Agency ESA. Its three telescopes illuminate five different instruments, which always operate simultaneously and independently: RGS1 and RGS2 are reflection grating spectrometers 29 , achieving a spectral resolution of ∼ 0.07 Å in the wavelength range 5–38 Å. The other three focal instruments, forming together the EPIC camera, are called MOS1 and MOS2 (metal-oxide semiconductor) and PN (pn-CCDs). Compared with the RGSs, the EPIC instruments have a broader wavelength coverage of 1.2–60 Å, but their spectral resolution is much lower (Е.Е.≈20–50) 30,31 . In addition to X-ray telescopes, XMM-Newton has also an optical monitor. However our target is too bright in visual light to be observed with the optical monitor.

The first dedicated XMM-Newton observation of ξ 1 CMa started on 3 September 2009 with an exposure time of 2 h, which was far too short to reveal the periodic variability 11 . In October 2012, XMM-Newton continuously observed ξ 1 CMa during nearly 29 h (Unique Observation Identifier 0600530101). The light curves and spectra were recorded by all X-ray instruments. The sensitivity of the PN camera is superior, and therefore its data are best suited for time-variability studies.

The data reduction involved standard procedures of the XMM-Newton Science Analysis System (SAS) v.13.0.1. The event lists have been filtered, and time intervals affected by high background were excluded. The object of our study is sufficiently isolated, with no nearby bright optical or X-ray sources.

Because of the brightness of the target in the visual, the optical light-blocking filter of XMM-Newton was used in its thick mode for our observations. We carefully investigated the potential contamination of the signal by optical/ultraviolet light. For the XMM-Newton detectors operating in full-frame mode and with the thick filter, no optical loading is expected for stars with мВ. >−1 to 2 mag (for the PN camera) and мВ.>1 to 4 mag (for the MOS cameras) (XMM-Newton User Handbook). Moreover, the optical loading would affect the softest part of the X-ray spectrum only, but we do not see different pulsational behaviour between softer and harder parts. Also, the amplitude of the pulsations is higher in the X-ray band than in the optical. From these considerations, a contamination of the signal by optical/ultraviolet light is ruled out.

X-ray light curve and comparison with optical light curve

Already visual inspection of the X-ray light curve reveals the periodic variability. Figure 1 shows the light curve of ξ 1 CMa in the energy band 0.2–10.0 keV (1.24–62 Å) where the background was subtracted. To quantify this variability, a statistical analysis is performed. To obtain a characterization of the variability, the light curves in three energy bands (total: 0.2–10.0 keV (1.24–62 Å) soft: 0.2–1.0 keV (12.4–62 Å) and hard: 1.0–10.0 keV (1.24–12.4 Å)) are extracted from the event lists of all three EPIC instruments separately. This is done using the SAS’s task EPICLCCORR, which provides equivalent on-axis, full-point spread function count rates with background correction. The data are binned in temporal bins of different duration (100, 500, 1,000, 3,600 s, see Figs 1, 2, 3).

Data are for the 0.2–10.0 keV (1.24–62 Å) energy band, where the background was subtracted. The horizontal axis denotes the time after the beginning of the observation in hours. The data were binned to 1,000 s. The vertical axis shows the count rate as measured by the EPIC PN camera. The error bars (1σ) correspond to the combination of the error in the source counts and the background counts.

(а) Result from an autocorrelation test for the PN light curve (with 1,000 s binning) in total band. Note that the point with zero shift is not shown. Error bars denote 1σ dispersions of autocorrelation function estimates in individual time bins. (b) Fourier periodogram 32,33 for PN light curve (with 100 s binning). The associated spectral window is clean, the signal is therefore not spurious. (в) Power-density spectrum based on the Fourier transform 34,35 of the PN data. The periodogram was calculated from ν=1/П. to ν=Н0/П. with a spacing П. −1 , where Н0 is the number of data points. Various false-alarm probability levels are marked (г.) EPIC PN light curves in full (black squares), in the soft (magenta dots) and in the hard (blue triangles) band folded with the Hipparcos ephemeris. The solid lines show a cubic spline interpolation. Horizontal bars show the bin size of Δφ=0.1. Vertical bars show 1σ errors.

(а) The X-ray light curve in the 1.2–62 Å band produced from the data obtained with the XMM-Newton EPIC PN camera, using 1 h binning. The X-ray data are background subtracted, and the error bars (1σ) reflect the combination of the statistical errors in the source counts and the background. The dashed magenta line interpolates the averages in phase bins of Δφ=0.1. (b) The Hipparcos Catalogue Epoch Photometry data. The abscissa is the magnitude Ҳсаҳ in the Hipparcos photometric system (330–900 nm with maximum at ≈420 nm). The dashed magenta line interpolates the averages.

We employ a χ 2 -test for several hypotheses such as constancy, linear variation and quadratic variation 36 . The PN and MOS1 data in soft and total bands display significant variations for all time binnings—the probability that the observed curve occurs by chance is <0.01. The autocorrelation test reveals periodic variability with a period of about 4.8 h (see Fig. 2a). A Fourier algorithm 32,33 yields the period П.=4.90±0.09 h with significance П.<2 × 10 −8 (see Fig. 2b). The power-density spectrum calculated with an alternative Fourier algorithm 34,35 gives a period of П.=4.91±0.05 h with a false-alarm probability of Ф.= 6.7 × 10 −4 (see Fig. 2c). Hence, all these different methods provide consistent values for the X-ray pulsation period.

To quantify the amplitude of the X-ray pulsations, we fit the X-ray light curve with a sinusoidal function and estimated the errors. In the full X-ray band, the peak-to-peak relative amplitude is 9.1±1.2%.

Simultaneous optical and X-ray observations of ξ 1 CMa are not available. In order to investigate the phase correlation between X-ray and optical pulsations, we searched for optical photometric data in the archives. The best and most recent photometry of ξ 1 CMa was obtained by the space telescope Hipparcos during the years 1990–1993. The Hipparcos photometry was carried out in a wide pass-band, referred to as Ҳсаҳ (ref. 15). All Ҳсаҳ photometric data were analysed in a uniform and self-consistent manner and yielded the parameters of variability, which are compiled in the ‘Hipparcos Catalogue Epoch Photometry Data’ 14 .

On the basis of the 5,482 observed cycles, the derived period is П.=0.209577±0.000001 days and the epoch of zero phase is JD(TT) 2448500.0280. We retrieved the Hipparcos photometric data for ξ 1 CMa and folded them according to the Hipparcos ephemeris. The result is shown in Fig. 3b. Comparing this ephemeris to older measurements from 1954 (ref. 37), the light curve is found to be still in phase, that is, the period derived from Hipparcos photometry is precise and the pulsations have been stable over 40 years. The peak-to-peak variability in the optical light is only 3% relative to the median amplitude, that is, lower than in the X-ray light.

The optical and X-ray period agree within 3σ of the X-ray period. Our XMM-Newton data were obtained about 34,000 pulsation cycles after the Hipparcos measurements. However, given the stability of the ξ 1 CMa light curve 18 , the Hipparcos ephemeris can be meaningfully applied for the epoch of our X-ray observations.

The X-ray light curves were phased with the Hipparcos ephemeris and compared with the optical ones as illustrated in Fig. 3a,b. The X-ray light curves turned out to be in phase with the optical within the precision of the measurement and the formal error margin of the ephemeris. Figure 2d shows the X-ray light-curves in the full, hard, and soft band, folded with the Hipparcos ephemeris.

Typically, the optical light curve of β Cep-type variables is similar in shape to the radial-velocity curve but lags in phase. The maximum brightness occurs shortly after the stellar radius goes through its minimum. The results of our analysis show that the same is true for the X-ray light—the maximum X-ray brightness is observed close to the phase when the stellar radius is at its minimum.

Analysis of the low-resolution X-ray spectra

To define the physical properties of the X-ray-emitting plasma in ξ 1 CMa, we analyse its X-ray spectra. As a first step, the low-resolution data recorded by the EPIC cameras 30,31 are considered. While individual lines, in general, cannot be resolved with the EPIC, the low-resolution spectra cover a broad energy band and allow to constrain the temperature and the emission measure of the hot plasma. For a phase-resolved analysis, the spectra are extracted for time intervals close to the pulsation maximum and the pulsation minimum, respectively.

The spectra are analysed with the standard spectral fitting software XSPEC 38 . The spectra were investigated for the presence of an emission component described by a power law. No convincing evidence for non-thermal radiation was found. Therefore, we adopted a model of optically thin thermal plasma in collisional ionization equilibrium as implemented in the apec code 39 . The most important parameters of this model are the electron temperature and the volume emission measure of the plasma. We follow here the definition of volume emission measure as used in the apec code, namely as the volume integral EM=∫В.НдНҲг.В., where Нд ва НҲ are the electron and hydrogen number densities, respectively. To restrict the number of free parameters, we use only three temperature components. Albeit such a model provides only a simplified description of the plasma, it can give insight in the characteristic temperatures and emission measures.

Considering first the X-ray spectra obtained over the full exposure time, we fit the MOS and PN spectra simultaneously (see Fig. 4). The best fit resulted in a nitrogen overabundance by a factor of 4.3±0.8 relative to solar 40 , and an oxygen overabundance by a factor of 1.6±0.3. These abundances are in agreement with those found from the analysis of optical spectra of ξ 1 CMa 41 .

The EPIC PN (black data points), MOS1 (red data points) and MOS2 (green data points) spectra integrated over the full exposure time are displayed. The black, red and green histograms show the best fit model of a three-temperature plasma and the residuals as signed contributions to χ 2 .

The best spectral fit is obtained with НҲ=1.3 × 10 20 cm −2 with a 3σ interval from 1 × 10 19 to 3 × 10 20 cm −2 . This can be compared with the interstellar reddening Е.B−V=0.04 mag that was estimated from fitting the observed spectral energy distribution of ξ 1 CMa from the ultraviolet to the optical 11 . Given the range of conversion factors from reddening to neutral hydrogen column density as found in the literature 42,43,44 , the corresponding column density is НҲ =2.3–3.3 × 10 20 cm −2 . This is comparable with the НҲ from X-ray spectral fitting.

Next, we modelled the X-ray spectra in different pulsational phases. For this purpose, we sampled the observations for phases around the maximum (φ=−0.1 to 0.2) and the minimum (φ=0.4 to 0.8) of the X-ray light curve, respectively. These data are analysed in the same way as described above for the total exposure. The obtained results of the three temperature fits are compiled in Table 2.

The table also gives the average plasma temperatures, ‹kT›, for the respective phases as mean values weighted with the emission measure. To estimate these mean values and their uncertainties, we perform a Monte Carlo evaluation for 10 5 values of the temperatures and the emission measures, randomized by their uncertainties and assuming normal and uncorrelated distributions. Then we take the mean and s.d. of the resulting values. These results are given in Table 2. The spectral fits thus indicate that at the maximum of the pulsation cycle the average temperature is marginally higher (by about 40 eV or 500,000 K) than at minimum. The fluxes Ф.X given in Table 2 are not corrected for the interstellar absorption and refer to the 0.2–10.0 keV energy range.

During the pulsation cycle, the X-ray count rate changes by ≈10%. From the time between maximum and minimum of the light curve (2.5 h) one can estimate the cooling rate and use it to constrain the density of X-ray-emitting plasma. We computed cooling functions with the APEC code, and found that the observed cooling rate can only be achieved if the electron density is >≈3 × 10 8 cm −3 . According to our PoWR models for the cool wind of ξ 1 CMa, such high electron densities are encountered only close to the photospheric radius Р.*, and not farther than 1.05Р.*. Assuming that the electron densities of the hot X-ray-emitting plasma are not higher than the densities of the ambient cool wind, the pulsed X-ray emission should originate from regions very close to the stellar photosphere. Otherwise, the timescale of X-ray variability would not be compatible with the cooling time. This estimate is based on the assumption of a smooth wind. In principle, one can envisage that the hot plasma density has strong local fluctuations, for example, it is enhanced at the magnetic equator 45,46 . In this case, sufficiently high density to allow for efficient cooling may be present farther out in the wind.

Analysis of the high-resolution X-ray spectrum

The high-resolution X-ray spectra of ξ 1 CMa obtained with the RGS1 and RGS2 spectrographs 29 are dominated by strong emission lines of metals. The spectrum obtained over the total exposure time and thus covering different pulsation phases can be well modelled by a thermal, optically thin plasma with temperatures that are consistent with those found from fitting the low-resolution spectra as described above (see Fig. 5).

Combined RGS spectrum of ξ 1 CMa integrated over the full exposure time is shown. Strong emission lines are identified. The best fit model is also shown (magenta line).

The location of X-ray-emitting plasma can be constrained with the help of the lines from helium-like ions. These ions emit a group of three X-ray lines, consisting of a forbidden (f), an intercombination (i) and a resonance (р) transition—the so-called fir triplet. The ratio of fluxes Ҷ=(f+i)/р is sensitive to the temperature, while the ratio of fluxes between the forbidden and the intercombination component, Р.=f/i, is sensitive to the electron density and the ultraviolet radiation field 47 :

Ин ҷо, φ denotes the photo-excitation rate from the term 2s 3 S to 2p 3 P, and Нд is the electron density. The constants 0,φв ва Нв depend on atomic parameters and slightly on the electron temperature 48 . Most importantly, the photo-excitation rate φ(р) scales with the mean intensity of the radiation field at the wavelength of the fр transition, which is typically in the ultraviolet.

Дар fir triplets of Ne IX, O VII and N VI are present in the RGS spectrum of ξ 1 CMa, with the O VII triplet being the strongest one. Only in the O VII triplet, the forbidden line is marginally detected, while forbidden lines in Ne IX and N VI were not detected.

We use the PoWR stellar atmosphere model to calculate the values of Р.(р) for Ne IX, O VII and N VI as a function of the radial location in the wind of ξ 1 CMa. The photo-excitation rates φ(р) are computed at each radius from the radiation intensity as provided by the PoWR model, which accounts not only for geometric dilution, but also for the diffuse radiation field.

Figure 6a shows for the O VII triplet the predicted Р. ratio as a function of the radial location of the emitting plasma. From the spectrum integrated over the full exposure time, the best-fit value of the Р. ratio indicates a plasma location at ≈6Р.*, while the 1σ margins are consistent with any location between 1Р.* and 10Р.*.

(а) Dependence of the line ratio Р.=f/i for the O VIII lines as function of the radial location of the emitting plasma. On the basis of the PoWR model, the red curve accounts only for radiative de-population, while the almost identical blue curve also includes collisional processes under the assumption that the shocked plasma has the same density as the cool wind. The measured value is shown as a horizontal green line, with the green hatched area representing the 1σ confidence band of the measurement. (b) Radius (in units of the stellar radius Р.*) where the cool wind from ξ 1 CMa becomes optically thin in dependence on the wavelength. The calculations were performed with the PoWR stellar atmosphere code (see text) with stellar parameters from Table 1. Photoionization edges are identified.

X-ray line profiles formed in a rapidly expanding stellar wind would be Doppler broadened. These lines can appear characteristically blue-shifted and asymmetric, especially when there is significant absorption of the X-rays in the cool stellar wind 49,50 . To estimate the effects of wind absorption, we computed the radii at which the wind becomes optically thin for X-rays. The hot plasma is optically thin, and the X-rays are absorbed only in the cool wind via K-shell ionization of metals. As can be seen from Fig. 6b, the wind of ξ 1 CMa is optically thin for X-rays above ≈1.01Р.*.

To analyse the line shape, both RGS spectra were combined and line moments were calculated. Because of higher signal-to-noise ratio, the best-suited line for a detailed analysis is O VIII Lyα. This line is marginally broader than the instrumental response. The maximum wind velocity in ξ 1 CMa is ≈700 km s −1 . If X-ray lines were formed in a plasma moving with such velocity, the corresponding Doppler line broadening would be detectable in the high-resolution spectrum. Only for the O VIII Lyα line is a marginal blue-shift detected. Hence, the emitting plasma is not moving rapidly, and the attenuation of the X-rays by the cool wind is low.

As a next step, we considered how the high-resolution spectrum varies between different pulsation phases (see Fig. 7). Surprisingly, the line ratios between the CNO elements change in different pulsation phases. Especially significant is the variability of the N VII Lyα resonance line (see Table 3).

(а) Combined high-resolution (RGS1+RGS2) spectrum in phase close to the pulsation minimum φ=0.6±0.2). (b) The same but in phase close to the pulsation maximum (φ=0.5±0.15). Strong emission lines are identified. The error bars correspond to 3σ.

It is unrealistic to assume that the observed changes of the N VII Lyα line strength with pulsational phase can be caused by a varying nitrogen abundance. It also seems unlikely that the N VII line variability is solely owing to changing densities and temperatures of the emitting plasma, since this would also affect other lines and line ratios.

As an effect that selectively acts on the N VII Lyα line at λ=24.78 Å, we tentatively suggest varying absorption of the line emission by the cool wind component. According to our model (see Fig. 6b), the cool wind becomes optically thick just close to the photosphere, the dominant opacity being due to K-shell ionization of N III () 51 . However, at maximum an enhanced X-ray irradiation can shift the nitrogen ionization balance in the cool wind to higher stages. The K-shell edge of N V is already at a shorter wavelength () than the N VII line. Thus, the attenuation of that line by the cool wind may be reduced at X-ray maximum, especially if the enhanced X-ray field is locally concentrated in the vicinity of confined X-ray production sites (such as shocks or hot spots on the stellar surface).


Our modelling code is based on the publicly available ATLAS9, SYNSPEC and VLIDORT codes. Our modified version of SYNSPEC and our binary modelling code is available on request.

Brown, J. C., McLean, I. S. & Emslie, A. G. Polarisation by Thomson scattering in optically thin stellar envelopes. Astron. Астрофиз. 68, 415–427 (1978).

Rudy, R. J. & Kemp, J. C. A polarimetric determination of binary inclinations: results for five systems. Астрофиз. J. 221, 200–210 (1978).

Berdyugin, A., Piirola, V., Sakanoi, T., Kagitani, M. & Yoneda, M. High-precision broad-band linear polarimetry of early-type binaries. II. Variable, phase-locked polarization in triple Algol-type system λ Tauri. Astron. Астрофиз. 611, A69 (2018).

Pfeiffer, R. J. & Koch, R. H. On the linear polarization of close binaries. Publ. Astron. Soc. Pacif. 89, 147–154 (1977).

Tinbergen, J. Interstellar polarization in the immediate solar neighbourhood. Astron. Астрофиз. 105, 53–64 (1982).

Elias, N. M., Koch, R. H. & Pfeiffer, R. J. Polarimetric measures of selected variable stars. Astron. Астрофиз. 489, 911–921 (2008).

Herbison-Evans, D., Hanbury-Brown, R., Davis, J. & Allen, L. R. A study of alpha Virginis with an intensity interferometer. Mon. Not. R. Astron. Soc. 151, 161–176 (1971).

Bailey, J. et al. A high-sensitivity polarimeter using a ferro-electric liquid crystal modulator. Mon. Not. R. Astron. Soc. 449, 3064–3073 (2015).

Bailey, J., Cotton, D. V. & Kedziora-Chudczer, L. A high-precision polarimeter for small telescopes. Mon. Not. R. Astron. Soc. 465, 1601–1607 (2017).

Cotton, D. V. et al. The linear polarization of southern bright stars measured at the parts-per-million level. Mon. Not. R. Astron. Soc. 455, 1607–1628 (2016).

Rudy, R. J. & Kemp, J. C. Phase-locked polarization in u Herculis: evidence for the reflection mechanism. Астрофиз. J. 216, 767–775 (1977).

Berdyugin, A. V. & Harries, T. J. Discovery of the variable phase-locked polarization in LZ Cephei. Astron. Астрофиз. 352, 177–181 (1999).

Cotton, D. V. et al. Polarization due to rotational distortion in the bright star Regulus. Nat. Astron. 1, 690–696 (2017).

Eddington, A. S. The reflection effect in eclipsing variables. Mon. Not. R. Astron. Soc. 86, 320–327 (1926).

Russell, H. N. Idealized models and rectified light-curves for eclipsing variables. Астрофиз. J. 108, 388–412 (1948).

Castelli, F. & Kurucz, R. New grids of ATLAS9 model atmospheres. Preprint at http://arXiv.org/abs/astroph/0405087 (2004).

Hubeny, I., Stefl, S. & Harmanec, P. How strong is the evidence of superionization and large mass outflows in B/Be stars? Bull. Astron. Inst. Czech. 36, 214–230 (1985).

Spurr, R. J. D. VLIDORT: a linearized pseudo-spherical vector discrete ordinate radiative transfer code for forward model and retrieval studies in multilayer scattering media. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transf. 102, 316–342 (2006).

Wilson, R. E. & Devinney, E. J. Realization of accurate close-binary light curves: application to MR Cygni. Астрофиз. J. 166, 605–619 (1971).

Wilson, R. E. Eccentric orbit generalization and simultaneous solution of binary star light and velocity curves. Астрофиз. J. 234, 1054–1066 (1979).

Harrington, D. et al. Alpha Virginis: line-profile variations and orbital elements. Astron. Астрофиз. J. 590, A54 (2016).

Tkachenko, A. et al. Stellar modelling of Spica, a high-mass spectroscopic binary with a β Cep variable primary component. Mon. Not. R. Astron. Soc. 458, 1964–1976 (2016).

Palate, M., Koenigsberger, G., Rauw, G., Harrington, D. & Moreno, E. Spectral modeling of the α Virginis (Spica) binary system. Astron. Астрофиз. 556, A49 (2013).

Van Leeuwen, F. Validation of the new Hipparcos reduction. Astron. Астрофиз. 474, 653–664 (2007).

Marshall, J. P. et al. Polarization measurements of hot dust stars and the local interstellar medium. Астрофиз. J. 825, 124 (2016).

Cotton, D. V. et al. The intrinsic and interstellar broad-band linear polarization of nearby FGK dwarfs. Mon. Not. R. Astron. Soc. 467, 873–897 (2017).

Bailey, J. The Dawes Review 3: the atmospheres of extrasolar planets and brown dwarfs. Publ. Astron. Soc. Aust. 31, e043 (2014).

Duchene, G. & Kraus, A. Stellar multiplicity. Ann. Rev. Astron. Астрофиз. 51, 269–310 (2013).

Chapellier, E. et al. Has alpha Vir ever stopped pulsating? Astron. Астрофиз. 143, 466–468 (1985).

Balona, L. A. On the amplitude decrease of the beta Cephei stars Spica and 16 Lacertae. Mon. Not. R. Astron. Soc. 217, 17–21 (1985).

Odell, A. P. Possible polarization effects in the beta Cephei stars. Publ. Astron. Soc. Pacif. 91, 326–328 (1979).

Bailey, J. & Kedziora-Chudczer, L. Modelling the spectra of planets, brown dwarfs and stars using VSTAR. Mon. Not. R. Astron. Soc 419, 1913–1929 (2012).

Bailey, J., Kedziora-Chudczer, L. & Bott, K. Polarized radiative transfer in planetary atmospheres and the polarization of exoplanets. Mon. Not. R. Astron. Soc. 480, 1613–1625 (2018).

Espinosa Lara, F. & Rietord, M. Gravity darkening in binary stars. Astron. Астрофиз. 547, A32 (2012).


A Comparison of the Four Algorithms of Ensemble Pulsar Time ☆

The pulsar time defined by a single pulsar is affected by many kinds of noise sources. Its short-term and long-term degrees of stability are both not good enough. In order to weaken the influence of these noise sources on the single pulsar time, an appropriate algorithm can be adopted to make a synthesis of many single pulsar times, then the ensemble pulsar time is obtained, thereby increasing the long-term degree of stability of the ensemble pulsar time. In this article four kinds of algorithms of the ensemble pulsar time are introduced, i.e., the classical weighting algorithm, wavelet analysis algorithm, Wiener filtering algorithm and Wiener filtering algorithm in wavelet domain. These four algorithms are respectively applied to the timing residuals obtained from the observation of two millisecond pulsars, PSR B1855+09 and PSR B1937+21 made at the Arecibo Astronomical Observatory, and comparisons are carried out.


Муқаддима

The Major Atmospheric Gamma ray Imaging Cherenkov (MAGIC) telescope [1] uses the IACT technique [2] to study the very high energy (VHE, E > 50 GeV ) γ -ray emission from astrophysical sources, at the lowest possible energy threshold. The technique uses Cherenkov radiation: A VHE γ -ray entering the earth's atmosphere initiates a shower (cascade) of electrons and positrons, with a particle density maximum about 10 km above sea level (for an energy of 1 TeV). The particles in the cascade produce Cherenkov light in a cone of about 1 ∘ half-angle, which illuminates an area of around 120 m radius on the ground. If the MAGIC telescope is located in this area, part of the Cherenkov light will be collected by the telescope mirrors and a shower image will be projected onto the photomultiplier tube (PMT) camera. The Cherenkov photons arrive within a very short time interval of a few nanoseconds at the telescope camera, whose pixels are fast light sensors such as PMTs, so that one can trigger on the coincident light signals. The fluctuations of the light of the night sky (LONS) cause background noise. This effect is minimized by using low exposure times (signal integration times), typically of the order of 10 ns. To reach the highest sensitivity and the lowest energy threshold, the recorded signals have to be accurately reconstructed. Two quantities are of interest: the total signal charge and the signal arrival time. The signal charge (the total number of photo-electrons released from the photocathode of the PMT) is proportional to the total area below the pulse. The sum of the signal charges of all camera pixels is a measure of the shower energy. The signal arrival time is given by the time difference between the first recorded flash analog-to-digital converter (FADC) sample and a characteristic position on the pulse shape, like the maximum, the half-maximum on the rising edge or the center of gravity of the pulse. The timing information may be used to discriminate between pixels whose signals belong to the shower, and pixels which are affected by randomly timed background noise. The pixels with a low signal-to-noise ratio are rejected for the subsequent image parameterization [3], [4].

The main background to γ -rays originates from the much more frequent showers induced by isotropic hadronic cosmic rays. Monte Carlo (MC) based simulations predict different time structures for γ -ray and hadron induced shower images as well as for images of single muons [5], [6], [7], [8]. This has two consequences: On the one hand the arrival time structures across the observed Cherenkov shower image, from pixel to pixel, depend on the type of the primary particle. On the other hand, also the recorded Cherenkov pulse shape inside an individual pixel depends on the primary particle. To exploit the pulse shape differences, an ultra-fast digitization of the Cherenkov pulses is necessary, as is provided by the most recent upgrade of the data acquisition of the MAGIC telescope to a 2 GSamples/s FADC system [9], [10]. This paper, however, deals with the signal reconstruction of the data taken with the initial 300 MSamples/s FADC system. Because of its limited sampling speed, we do not try to exploit the differences in pulse shape here.

This paper is structured as follows: In Section 2 the read-out system of the MAGIC telescope is described, and in Section 3 the average pulse shapes of calibration and cosmic pulses are reconstructed, from data taken with the FADC system. These pulse shapes are compared to those implemented in the MC simulation program. In Section 4 criteria for an optimal signal reconstruction are developed. In Section 5 the signal reconstruction algorithms and their implementation in the MAGIC software framework (MARS [11]) are described. The performance of the signal extraction algorithms under study is assessed by applying them to pedestal, calibration and MC events (6 Monte-Carlo studies, 7 Pedestal extraction, 8 Calibration). Section 9 gives the CPU-time requirements for the different signal reconstruction algorithms. Finally in 10 Results and discussion, 11 Conclusions and outlook the results are summarized and an outlook is given.


6. Conclusions

[49] On the basis of measured snow grain sizes, snow depth, ice thickness, ice temperature, and ice salinity we have calculated the transmittance of first-year sea ice with and without snow cover. These calculations were performed with a radiative transfer code for the Coupled Atmosphere-Snow-Ice-Ocean system. The bubble size and the snow grain sizes were determined by assuming that the absorption by impurities can be neglected at near-infrared wavelengths. A best fit between measured and calculated transmittances was obtained with snow grains that were only 5% larger than the smallest observed values. Thus, at least for the type of snow we observed, the smallest measured grain sizes should be used as input to radiative transfer calculations when snow grains are treated as spheres. The absorption by impurities in the ice and snow was adjusted until the modeled transmittance coincided with the measured transmittance. The retrieved impurity absorption spectrum for the snow could be fitted to the sum of an exponentially decaying function and a chlorophyll-like absorption function. The shape of the retrieved impurity absorption spectrum for the ice resembled that of ice algae. It had low absorption of UV radiation, which may indicate that there were few impurities besides algae in the ice.

[50] We have also seen that knowledge of the snow thickness is essential for accurate determination of the transmittance of the combined snow-ice layer (i.e., the irradiance at the ice bottom divided by the irradiance at the snow top). For the type of snow and ice considered in this study, a 2.5-cm-thick layer was found to have about the same transmittance for PAR and UV radiation as a 61-cm-thick ice layer. This shows that it is very important to pay attention to the snow layer when calculating light transmission through the atmosphere and sea ice into polar oceans. Further, we have seen that harmful UV radiation is removed more efficiently than PAR for snow depths greater than 3–4 cm (Figure 10). Thus algae growing under a snow cover may be protected from UV radiation, but still receive sufficient PAR for photosynthesis. See Neale et al. [1998] for details on UV radiation inhibition of marine photosynthesis. The transmittance of the snow cover decreases faster in the first few centimeters of the snow compared with a thicker snow layer. This gives a large variation with depth in the diffuse attenuation coefficient К.г., so that simple parameterizations using exponentially decaying functions to calculate the irradiance should be avoided or handled with care.

[51] We conclude that our model is a useful tool in investigations of the physical and biological properties of Kongsfjorden and other arctic marine environments. It can be used to calculate energy deposition in the snow, ice, and ocean. In addition, its ability to calculate both UV radiation and PAR makes it very suitable for investigating effects of changing climatic conditions (e.g., changes in ozone amount, snow thickness, cloud cover) on the aquatic ecology in polar regions.


Видеоро тамошо кунед: Mô phỏng simscape multibody gia công nội suy 14 đường trong r = với 10 đoạn (Июн 2022).